Biết tích phân1^2x3x+ căn 9x^2-1dx=a+b căn 2+c căn 35 với abc là các số hữu tỉ tính P=a+2b+c-7.
Câu hỏi
Nhận biếtBiết \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{x}{3x+\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx}=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{35}\) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ, tính \(P=a+2b+c-7.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{align}\int\limits_{1}^{2}{\frac{x}{3x+\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{x\left( 3x-\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right)}{9{{x}^{2}}-\left( 9{{x}^{2}}-1 \right)}dx} \\=\int\limits_{1}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-x\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{3{{x}^{2}}dx}-\int\limits_{1}^{2}{x\sqrt{9{{x}^{2}}-1}dx}={{I}_{1}}-{{I}_{2}} \\{{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{2}{3{{x}^{2}}dx}=\left. {{x}^{3}} \right|_{1}^{2}=8-1=7 \\\end{align}\)
Đặt \(\sqrt{9{{x}^{2}}-1}=t\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}-1={{t}^{2}}\Leftrightarrow 18xdx=2tdt\Leftrightarrow xdx=\frac{1}{9}tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{align}x=1\Rightarrow t=2\sqrt{2} \\x=2\Rightarrow t=\sqrt{35} \\\end{align} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_2} = \frac{1}{9}\int\limits_{2\sqrt 2 }^{\sqrt {35} } {{t^2}dt} = \left. {\frac{{{t^3}}}{{27}}} \right|_{2\sqrt 2 }^{\sqrt {35} } = \frac{{35\sqrt {35} }}{{27}} - \frac{{16\sqrt 2 }}{{27}}\\ \Rightarrow I = 7 + \frac{{16\sqrt 2 }}{{27}} - \frac{{35\sqrt {35} }}{{27}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = \frac{{16}}{{27}}\\c = - \frac{{35}}{{27}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = a + 2b + c - 7 = - \frac{1}{9}\end{array}\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.