Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện | z - 3 - 4i | = căn 5 và biểu thức M = | z + 2 |
Câu hỏi
Nhận biếtBiết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) và biểu thức \(M = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính mô đun của số phức \(z + i\).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Giả sử \(z = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Do \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) nên \({\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 5\)
\(M = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2} = \left( {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \right) = 4a + 2b + 3 \Rightarrow 4a + 2b + 3 - M = 0\)
Để tồn tại số phức z như trên thì M thỏa mãn điều kiện: đường thẳng \(4x + 2y + 3 - M = 0\,\,\left( \Delta \right)\) và đường tròn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\) có điểm chung\( \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) \le R\), với \(I\left( {3;4} \right),R = \sqrt 5 \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.3 + 2.4 + 3 - M} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2}} }} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {23 - M} \right| \le 10 \Leftrightarrow 13 \le M \le 33\)
\({M_{\max }} = 33\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y + 3 - 33 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 15 - 2x\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {15 - 2x - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow z = 5 + 5i \Leftrightarrow z + i = 5 + 6i \Rightarrow z + i = \sqrt {25 + 36} = \sqrt {61} \).
Chọn: A
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
