Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nó
Câu hỏi
Nhận biếtBạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi \(x\) là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm \(x\) để thể tích phễu lớn nhất ?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của phễu hình nón.
Thể tích của khối nón là \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{\pi }{3}{{r}^{2}}\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}},\) với \(l\) là độ dài đường sinh và \(l=R\) bán kính tấm bìa hình tròn \(\Rightarrow \,\,V=\frac{\pi }{3}.{{r}^{2}}\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\frac{\pi }{3}\,\,\times \,\,{{r}^{2}}\sqrt{1-{{r}^{2}}}\) vì chuẩn hóa \(R=1.\)
Xét hàm số \(f\left( r \right)={{r}^{2}}\sqrt{1-{{r}^{2}}}\) trên \(\left( 0;1 \right),\) có \({f}'\left( r \right)=\frac{2r-3{{r}^{3}}}{\sqrt{1-{{r}^{2}}}};\,\,\forall r\in \left( 0;1 \right).\)
Ta có \({f}'\left( r \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} 0 Do đó \({{V}_{\max }}=\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}.\) Dấu \(''\,\,=\,\,\,''\) xảy ra khi và chỉ khi \(r=\frac{\sqrt{6}}{3}.\) Mà độ dài cung phần cuộn làm phễu chính là chu vi đáy hình nón \(\Rightarrow \,\,x.R=\frac{2\pi \sqrt{6}}{3}\Rightarrow \,\,x=\frac{2\pi \sqrt{6}}{3}.\) Chọn A
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.