Bạn Bình muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là
Câu hỏi
Nhận biếtBạn Bình muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(60\left( {cm} \right)\). Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật \(MNPQ\) từ mảnh tôn nguyên liệu (với \(M,N\) thuộc cạnh \(BC\); \(P,Q\) tương ứng thuộc cạnh \(AC\) và \(AB\)) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng \(MQ\). Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn Bình có thể làm được là:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow H\) cũng là trung điểm của \(MN\).
Do \(ABC\) là tam giác đều có cạnh bằng \(60\,\,\left( {cm} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH = HC = 30\left( {cm} \right)\\AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.BC = 30\sqrt 3 \left( {cm} \right)\end{array} \right.\)
Đặt \(BM = x\), do \(BM < BH \Rightarrow 0 < x < 30\), ta có :
\(\begin{array}{l}MH = BH - BM = 30 - x\\ \Rightarrow MN = 2MH = 60 - 2x\end{array}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\QM \bot MN \Rightarrow QM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH\parallel QM\)
\( \Rightarrow \dfrac{{QM}}{{AH}} = \dfrac{{BM}}{{BH}} \Leftrightarrow \dfrac{{QM}}{{30\sqrt 3 }} = \dfrac{x}{{30}}\)\( \Leftrightarrow QM = \sqrt 3 x\) (Định lí Ta-lét)
Gọi \(r\) là bán kính đáy của hình trụ được tạo thành.
Hình trụ được tạo thành có chiều cao bằng \(MQ = \sqrt 3 x\) và chu vi đáy bằng \(MN\) nên :
\(2\pi r = MN \Leftrightarrow 2\pi r = 60 - 2x \Leftrightarrow r = \dfrac{{30 - x}}{\pi }\)
Thể tích của hình trụ được tạo thành từ hình chữ nhật \(MNPQ\) là :
\(\begin{array}{l}V = \pi {r^2}.MQ = \pi .{\left( {\dfrac{{30 - x}}{\pi }} \right)^2}.\sqrt 3 x\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 3 x\left( {900 - 60x + {x^2}} \right)}}{\pi }\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 3 }}{\pi }\left( {{x^3} - 60{x^2} + 900x} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 60{x^2} + 900x\) trên khoảng \(\left( {0;30} \right)\) ta có :
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - 120x + 900\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 30\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 10\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 10\end{array}\)
Ta có BBT như sau :
Từ BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;30} \right)} f\left( x \right) = f\left( {10} \right) = 4000\).
Do đó, thể tích lớn nhất của hình trụ tạo được là \(\dfrac{{4000\sqrt 3 }}{\pi }\,\,\,\left( {c{m^3}} \right).\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.