Với giá trị nào của tham số m thì phương trình x^3-mx^2-6x-8=0 có ba nghiệm thực lập thà
Câu hỏi
Nhận biếtVới giá trị nào của tham số \(m\) thì phương trình \({{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-6x-8=0\) có ba nghiệm thực lập thành một cấp số nhân?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta chứng minh nếu \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\), \({{x}_{3}}\) là nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-6x-8=0\) thì \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=m \\& {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=8 \\\end{align} \right.\).
Thật vậy \({{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-6x-8=\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)\)
\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-6x-8={{x}^{3}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right){{x}^{2}}+\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)x-{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=m \\& {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=8 \\\end{align} \right.\).
Điều kiện cần: Phương trình \({{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-6x-8=0\) có ba nghiệm thực \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}\) lập thành một cấp số nhân \(\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{3}}={{x}_{2}}^{2}\) \(\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}.{{x}_{3}}={{x}_{2}}^{3}\)\(\Leftrightarrow 8={{x}_{2}}^{3}\)\(\Leftrightarrow {{x}_{2}}=2\).
Vậy phương trình \({{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-6x-8=0\) phải có nghiệm bằng \(2\). Thay \(x=2\) vào phương trình ta có \(m=-3\).
Điều kiện đủ: Thử lại với \(m=-3\) ta có \({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-6x-8=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\,4 \\& x=2 \\& x=-1 \\\end{align} \right.\) (thỏa yêu cầu bài toán).
Chọn D
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.