Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= căn x cung tròn có phương trình y = căn 6 - x^2
Câu hỏi
Nhận biếtGọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x}\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {6 - {x^2}} \) \(\left( -\,\sqrt{6}\le x\le \sqrt{6} \right)\) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích \(V\) của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng \(D\) quanh trục \(Ox\).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cách 1. Cung tròn khi quay quanh \(Ox\) tạo thành một khối cầu có thể tích \(V=\frac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{6} \right)}^{3}}=8\pi \sqrt{6}\).
Thể tích nửa khối cầu là \({{V}_{1}}=4\pi \sqrt{6}\). Xét phương trình:
\(\sqrt x = \sqrt {6 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^2} + x - 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\)
Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=\sqrt{x}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{6-{{x}^{2}}}\), và hai đường thẳng \(x=0,\,\,x=2\) quanh \(Ox\) là:
\({{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 6-{{x}^{2}}-x \right)\text{d}x}=\left. \pi \left( 6x-\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{2}=\frac{22\pi }{3}.\).
Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là \(V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=4\pi \sqrt{6}+\frac{22\pi }{3}\).
Cách 2. Cung tròn khi quay quanh \(Ox\) tạo thành một khối cầu có thể tích \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\sqrt 6 } \right)^3} = 8\pi \sqrt 6 \).
Xét phương trình:
\(\sqrt x = \sqrt {6 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
{x^2} + x - 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\)
Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=\sqrt{x}\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {6 - {x^2}} \) và đường thẳng \(y=0\) quanh \(Ox\) là
\({{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{x\text{d}x}+\pi \int\limits_{2}^{\sqrt{6}}{\left( 6-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\left. \frac{\pi {{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{2}+\left. \pi \left( 6x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{2}^{\sqrt{6}}=2\pi +\frac{12\sqrt{6}-28}{3}\pi =4\pi \sqrt{6}-\frac{22\pi }{3}.\)
Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là \(V = {V_1} - {V_2} = 8\pi \sqrt 6 - \left( {4\pi \sqrt 6 - \frac{{22\pi }}{3}} \right) = 4\sqrt 6 \pi + \frac{{22\pi }}{3}.\)
Chọn D
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
