Cho phương trình log 2( x- căn x^2-1 ).log 5( x- căn x^2-1 )=log m( x+ căn x^2-1 ). Có bao nhiêu giá
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình \({{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right).{{\log }_{5}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)={{\log }_{m}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương khác 1 của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm x lớn hơn 2 ?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \(\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)={{x}^{2}}-\left( {{x}^{2}}-1 \right)=1\)
Đặt \(t\left( x \right)=x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}\,\,\left( t>0 \right)\Rightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{t}\)
Ta có \(t'\left( x \right)=1-\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=0\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-1}-x=0\)
Với \(x>2\) ta có \(\sqrt{{{x}^{2}}-1}<\sqrt{{{x}^{2}}}=x\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-1}-x<0\Rightarrow t'\left( x \right)<0\) \(\Rightarrow x>2\Rightarrow t\in \left( 0;2-\sqrt{3} \right)\)
Khi đó phương trình trở thành
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,{\log _2}t.{\log _5}t = {\log _m}{t^{ - 1}} = - {\log _m}t\,\,\,\left( * \right)\\
\Leftrightarrow {\log _2}t.{\log _5}t + {\log _m}t = 0\\
\Leftrightarrow {\log _2}t.{\log _5}t + {\log _m}2.{\log _2}t = 0\\
\Leftrightarrow {\log _2}t\left( {{{\log }_5}t + {{\log }_m}2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _2}t = 0\\
{\log _5}t + {\log _m}2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\,\,\left( {ktm} \right)\\
{\log _5}t = - {\log _m}2 = {\log _m}\frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow t = {5^{{{\log }_m}\frac{1}{2}}}
\end{array}\)
Để phương trình ban đầu có nghiệm \(x>2\) thì phương trình (*) có nghiệm \(t\in \left( 0;2-\sqrt{3} \right)\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.