Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m chiều rộng chân đế 12m. Người ta căn g sợi dây tra
Câu hỏi
Nhận biếtMột cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \(\frac{AB}{CD}\) bằng :
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ : Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là \(y=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+18\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là \(S=\int\limits_{-6}^{6}{\left( -\frac{1}{2}{{x}^{2}}+18 \right)dx}=\left. \left( -\frac{{{x}^{3}}}{6}+18x \right) \right|_{-6}^{6}=144.\)
Gọi \({{x}_{A}}=a\Rightarrow {{y}_{A}}=-\frac{1}{2}{{a}^{2}}+18\) \(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng AB : \(y=-\frac{1}{2}{{a}^{2}}+18\) và \({{x}_{C}}=c\Rightarrow {{y}_{c}}=-\frac{1}{2}{{c}^{2}}+18\) \(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng CD : \(y=-\frac{1}{2}{{c}^{2}}+18\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB là:
\(\begin{array}{l}
{S_1} = \int\limits_{ - a}^a {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 18 + \frac{1}{2}{a^2} - 18} \right)dx} \\
\,\,\,\,\, = \int\limits_{ - a}^a {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{2}x} \right)} \right|_{ - a}^a\\
\,\,\,\,\, = - \frac{{{a^3}}}{6} + \frac{{{a^3}}}{2} - \left( {\frac{{{a^3}}}{6} - \frac{{{a^3}}}{2}} \right) = \frac{{2{a^3}}}{3}.\\
{S_1} = \frac{1}{3}S \Rightarrow \frac{2}{3}{a^3} = \frac{1}{3}.144 = 48\\
\Rightarrow a = 2\sqrt[3]{9} \Rightarrow AB = 2a = 4\sqrt[3]{9}.
\end{array}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng CD là:
\(\begin{array}{l}
{S_2} = \int\limits_{ - c}^c {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 18 + \frac{1}{2}{c^2} - 18} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{c^2}}}{2}x} \right)} \right|_{ - c}^c\\
\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{{{c^3}}}{6} + \frac{{{c^3}}}{2} - \left( {\frac{{{c^3}}}{6} - \frac{{{c^3}}}{2}} \right) = \frac{{2{c^3}}}{3}.\\
{S_2} = \frac{2}{3}S \Rightarrow \frac{2}{3}{c^3} = \frac{2}{3}.144 = 96\\
\Rightarrow c = 2\sqrt[3]{{18}} \Rightarrow CD = 2c = 4\sqrt[3]{{18}}\\
\Rightarrow \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}
\end{array}\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
