Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a B'D'=a căn 3. Góc giữa CC’ và
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, \(B'D'=a\sqrt{3}\). Góc giữa CC’ và mặt đáy là \({{60}^{0}}\), trung điểm H của AO là hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng ABCD. Tính thể tích của hình hộp.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Do AA’ // CC’ nên \(\left( \widehat{A\,A'},(ABCD) \right)=\left( \widehat{CC'},(ABCD) \right)={{60}^{0}}\).\(A'H\bot (ABCD),\,\,H\in (ABCD)\Rightarrow \left( \widehat{AA',(ABCD)} \right)=\widehat{A'AH}={{60}^{0}}\)
Hình thoi ABCD có AB = BC = CD = DA = a, \(BD=B'D'=a\sqrt{3}\)
Tam giác OAB vuông tại O:
\(\begin{align} & O{{A}^{2}}=A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}={{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4} \\& \Rightarrow OA=\frac{a}{2}\Rightarrow AH=\frac{a}{4},\,\,AC=a \\\end{align}\)
Diện tích hình thoi ABCD: \({{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\)
Tam giác A’AH vuông tại H: \(\tan \widehat{A'AH}=\frac{A'H}{AH}\Leftrightarrow \tan {{60}^{0}}=\frac{A'H}{\frac{a}{4}}\Leftrightarrow A'H=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: \(V = {S_{ABCD}}.A'H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{8}\).
Chọn: D
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
