Tổng các nghiệm của phương trình ( x-1 )^2.2^x=2x( x^2-1 )+4( 2^x-1-x^2 ) bằng
Câu hỏi
Nhận biếtTổng các nghiệm của phương trình \({{\left( x-1 \right)}^{2}}{{.2}^{x}}=2x\left( {{x}^{2}}-1 \right)+4\left( {{2}^{x-1}}-{{x}^{2}} \right)\) bằng
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \({{\left( x-1 \right)}^{2}}{{2}^{x}}=2x\left( {{x}^{2}}-1 \right)+4\left( {{2}^{x-1}}-{{x}^{2}} \right)\)\(\Leftrightarrow {{2}^{x}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=2{{x}^{3}}-2x+4.\frac{{{2}^{x}}}{2}-4{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}\left( {{x}^{2}}-2x+1-2 \right)=2{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-2x\)
\(\Leftrightarrow {{2}^{x}}\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)-2x\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-2x \right)\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)=0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} - 2x = 0\\{x^2} - 2x - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} - 2x = 0\,\,\left( * \right)\\x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\).
Xét phương trình (*):\({{2}^{x}}-2x=0\).
Xét hàm số \(f\left( x \right)={{2}^{x}}-2x\Rightarrow {f}'\left( x \right)={{2}^{x}}.\ln 2-2=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{2}{\ln 2}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\frac{2}{\ln 2}\).
Ta có BBT của \(f\left( x \right)\).
Ta có \(f\left( {{\log }_{2}}\left( \frac{2}{\ln 2} \right) \right)=\frac{2}{\ln 2}-2+2{{\log }_{2}}\ln 2<0\) nên đường thẳng \(y=0\) cắt đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{2}^{x}}-2x\) tại hai điểm.
Hay phương trình (*) có hai nghiệm. Nhận thấy \(x=1;x=2\) là hai nghiệm của phương trình (*).
Vậy tổng nghiệm của phương trình ban đầu là \(1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1+2=5\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.