Cho các số thực x y thỏa mãn ( x-4 )^2+( y-4 )^2+2xyle 32. Gía trị nhỏ nhất m của biểu thức A=x^3+y^
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực x, y thỏa mãn \({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+2xy\le 32.\) Gía trị nhỏ nhất m của biểu thức \(A={{x}^{3}}+{{y}^{3}}+3\left( xy-1 \right)\left( x+y-2 \right)\) là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+2xy\le 32\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-8\left( x+y \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le x+y\le 8\).
\(A={{\left( x+y \right)}^{3}}-3\left( x+y \right)-6xy+6\ge {{\left( x+y \right)}^{3}}-\frac{3}{2}{{\left( x+y \right)}^{2}}-3\left( x+y \right)+6\)
(do \({{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4xy\Rightarrow xy\le \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow -6xy\ge -\frac{3}{2}{{\left( x+y \right)}^{2}}\) )
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{3}}-\frac{3}{2}{{t}^{2}}-3t+6\) trên đoạn \(\left[ 0,8 \right]\), ta có
\(f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-3t-3,f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\) (giá trị \(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\notin \left[ 0;8 \right]\) nên loại)
Thực hiện tính toán ta có: \(f\left( 0 \right)=6,f\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)=\frac{17-5\sqrt{5}}{4},f\left( 8 \right)=398\Rightarrow A\ge f\left( t \right)\ge \frac{17-5\sqrt{5}}{4}\Rightarrow A\ge \frac{17-5\sqrt{5}}{4}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{17-5\sqrt{5}}{4}\) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}\)
Đáp án C
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
