Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau log căn [4]5( x^2-2x-3 )=2log 2( x^2-2x-4 )
![Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau log căn [4]5( x^2-2x-3 )=2log 2( x^2-2x-4 )](https://tuhoc365.vn/wp-content/uploads/2020/03/qa-238x145.png "Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau log căn [4]5( x^2-2x-3 )=2log 2( x^2-2x-4 )")
Câu hỏi
Nhận biếtTìm tổng các nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{\sqrt[4]{5}}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=2{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-4 \right)\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương trình (1): \({{\log }_{\sqrt[4]{5}}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=2{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-4 \right)\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x - 3 > 0\\{x^2} - 2x - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 > 0\)
Vì \({{x}^{2}}-2x-4<{{x}^{2}}-2x-3,\forall x\in R\)
\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-4 \right)\left( * \right)\)
Đặt \(t={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)\)\(\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-3={{5}^{t}}\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-4={{5}^{t}}-1>0\Leftrightarrow t>0\)
Phương trình (*) trở thành: \(2t={{\log }_{2}}\left( {{5}^{t}}-1 \right)\Leftrightarrow {{5}^{t}}-{{4}^{t}}-1=0.\)
Xét hàm số \(y\left( t \right)={{5}^{t}}-{{4}^{t}}-1\) trên \(\left( 0;+\infty \right)\).
Có \(y'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5-{{4}^{t}}\ln 4\).
Vì \({{5}^{t}}>{{4}^{t}},\forall t\in \left[ 0;+\infty \right);\ln 5>\ln 4\) nên \({{5}^{t}}\ln 5-{{4}^{t}}\ln 4>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)\)
\(\Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\)
Bảng biến thiên:
Mà \(f\left( 1 \right)=0\Rightarrow t=1\) là nghiệm duy nhất phương trình \(f\left( t \right)=0.\)
Với \(t=1\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=1\)
\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-8=0\)
Theo định lý vi – et ta có tổng hai nghiệm phương trình (1) là: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2.\)
Đáp án C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.