Phương trình ( 2 + căn 2 )^log 2x + x( 2 - căn 2 )^log 2x = x^2 + 1 có nghiệm là:
Câu hỏi
Nhận biếtPhương trình \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} + x{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {x^2} + 1\) có nghiệm là:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0\)
Đặt \(u = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} > 0;\,\,\,v = {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} > 0.\)
Ta có: \(uv = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}}{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {\left[ {{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]^{{{\log }_2}x}} = {2^{{{\log }_2}x}} = x.\)
Khi đó ta có phương trình đã cho trở thành: \(u + \left( {uv} \right)v = {u^2}{v^2} + 1 \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right) + u{v^2} - {u^2}{v^2} = 0\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right) - u{v^2}\left( {u - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {1 - u{v^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ u = 1 \hfill \cr u{v^2} = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Với \(u = 1 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = 1 \Leftrightarrow {\log _2}x = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\)
+) Với \(u{v^2} = 1 \Leftrightarrow uv.v = 1 \Rightarrow v = {1 \over x}\(
\(\eqalign{ & \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {1 \over x} \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {\log _2}\left( {{1 \over x}} \right) \cr & \Leftrightarrow {\log _2}x.{\log _2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right) = - {\log _2}x \cr & \Leftrightarrow {\log _2}x\left[ {{{\log }_2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right) + 1} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {\log _2}x = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right) \cr} \)
Vậy \(x = 1\) là nghiệm của pt.
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.