Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho A ở trên bờ biển đến một vị trí B trên hòn đảo
Câu hỏi
Nhận biếtMột công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho \(A\) ở trên bờ biển đến một vị trí \(B\) trên hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển \(6km.\) Gọi \(C\) là điểm trên bờ sao cho \(BC\) vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ \(A\) đến \(C\) là \(9km.\) Người ta cần xác định một vị trí \(D\) trên \(AC\) để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc \(ADB.\) Tính khoảng cách \(AD\) để số tiền chi phí thấp nhất, biết rằng giá để lắp mỗi \(km\) đường ống trên bờ là \(100.000.000\) đồng và dưới nước là \(260.000.000\) đồng.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta đặt \(x=AD.\) Khi đó ta có \(CD=9-x\,\left( km \right).\)
Do \(\Delta BCD\) vuông tại \(C\) nên áp dụng định lý Py-ta-go ta nhận được \(B{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}={{6}^{2}}+{{\left( 9-x \right)}^{2}}={{x}^{2}}-18x+117\Rightarrow BD=\sqrt{{{x}^{2}}-18x+117}.\)
Chi phí lắp đặt là \(100.000.000x+260.000.000\sqrt{{{x}^{2}}-18x+117}=20.000.000\left( 5x+13\sqrt{{{x}^{2}}-18x+117} \right).\)
Để chi phí là thấp nhất thì ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(f\left( x \right)=5x+13\sqrt{{{x}^{2}}-18x+117},0 Ta có \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 5 + \frac{{13\left( {x - 9} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 18x + 117} }}.\\\end{array}\) do đó \(\begin{array}{l}\,\,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 5 + \frac{{13\left( {x - 9} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 18x + 117} }} = 0 \Leftrightarrow 5\sqrt {{x^2} - 18x + 117} = 13\left( {9 - x} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - x > 0\\{5^2}\left( {{x^2} - 18x + 117} \right) = {13^2}{\left( {9 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 9\\144{x^2} - 2592x + 10764 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6,5 < 9\\x = 11,5 > 9\end{array} \right..\end{array}\) Như vậy giá trị \(x=11,5\) bị loại. Ta kiểm tra được \(f'\left( x \right)>0\) trên \(\left( 6,5;9 \right)\) và \(f'\left( x \right)<0\) trên \(\left( 0;6,5 \right)\) do đó \(f\left( x \right)\ge f\left( 6,5 \right),\,\,\forall x\in \left( 0;9 \right).\) Như vậy hàm \(f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=6,5.\) Khi đó chi phí lắp đặt sẽ nhỏ nhất. Do đó khoảng cách \(AD\) tìm được khi chi phí thấp nhất là \(6,5km.\) Chọn đáp án D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
