Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ):x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt cầu ( S ):x^2 + y
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\). Giả sử \(M \in \left( P \right)\) và \(N \in \left( S \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \left( {1,0,1} \right)\) và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương pháp: Giá trị lớn nhất của MN chính là độ dài của vectơ lớn nhất trong các vectơ \(\overrightarrow v \) mà phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow v \) biến mặt cầu (S) thành mặt cầu (S’) tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Cách giải
(S) có tâm I(–1;2;1) và R = 1
Gọi \(\overrightarrow v \left( {t;0;t} \right)\) là vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \left( {1,0,1} \right)\) sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến (S) thành (S’) tiếp xúc với (P)
Phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow v \left( {t;0;t} \right)\) biến I thành I’(–1 + t; 2; 1 + t)
Suy ra (S’) có tâm I’ và bán kính R’ = R = 1
(S’) tiếp xúc (P) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow {{\left| { - 1 + t - 2.2 + 2\left( {1 + t} \right) - 3} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {3t - 6} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 3 \hfill \cr t = 1 \hfill \cr} \right.\)
Với \(t = 3 \Rightarrow \overrightarrow v \left( {3;0;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = 3\sqrt 2 \)
Với \(t = 1 \Rightarrow \overrightarrow v \left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 2 \)
Vậy giá trị lớn nhất của MN là \(3\sqrt 2 \).
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.