Gọi M( a;b ), b > 0 là điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x - 10x - 3 sao c
Câu hỏi
Nhận biếtGọi \(M \left( {a;b} \right) \), \(b > 0 \) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 10}}{{x - 3}} \) sao cho tổng khoảng cách từ \(M \) đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đó đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó hiệu \(a - b \) bằng
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 10}}{{x - 3}}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 3\\b = \dfrac{{2a - 10}}{{a - 3}}\end{array} \right.\)
Hàm số \(y = \dfrac{{2x - 10}}{{x - 3}}\) có tiệm cận đứng là \(x = 3\) và tiệm cận ngang là \(y = 2\)
Khoảng cách từ \(M\left( {a;b} \right)\) đến tiệm cận đứng là \({d_1} = \left| {a - 3} \right|\) và đến tiệm cận ngang là \({d_2} = \left| {b - 2} \right|\)
Tổng khoảng cách từ \(M\) đến 2 đường tiệm cận là :
\(\begin{array}{l}d = {d_1} + {d_2} = \left| {a - 3} \right| + \left| {b - 2} \right|\\ = \left| {a - 3} \right| + \left| {\dfrac{{2a - 10}}{{a - 3}} - 2} \right|\\ = \left| {a - 3} \right| + \left| {\dfrac{{2a - 10 - 2\left( {a - 3} \right)}}{{a - 3}}} \right|\\ = \left| {a - 3} \right| + \dfrac{4}{{\left| {a - 3} \right|}}\end{array}\)
Áp dụng BĐT AM – GM ta có :
\(d = \left| {a - 3} \right| + \dfrac{4}{{\left| {a - 3} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {a - 3} \right|.\dfrac{4}{{\left| {a - 3} \right|}}} = 2.2 = 4\)
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {a - 3} \right| = \dfrac{4}{{\left| {a - 3} \right|}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 3 = 2\\a - 3 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 5 \Rightarrow b = 0\\a = 1 \Rightarrow b = 4\end{array} \right.\)
Do \(b > 0\) nên \(M\left( {1;4} \right)\) thì tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận nhỏ nhất.
Suy ra \(a - b = - 3\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
