Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân tại O, OA=OB=2a,,,widehatAOB=
Câu hỏi
Nhận biếtTrong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân tại O, \(OA=OB=2a, \, \, \widehat{AOB}={{120}^{0}}. \) Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại O lấy hai điểm C, D nằm về hai phía của mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\Rightarrow AB=2a\sqrt{3}\)
Vì tam giác \(DAB\) đều nên \(DA=DB=AB=2a\sqrt{3}\)
\(OD=\sqrt{B{{D}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2a\sqrt{2}\)
Vì \(\Delta CAB\) vuông cân nên \(2C{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=12{{a}^{2}}\Rightarrow C{{B}^{2}}=6{{a}^{2}}\)
\(\Rightarrow OC=\sqrt{C{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{6{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)
Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD.\) Vẽ tam giác \(EPQ\) có các cạnh lần lượt song song với các cạnh của \(\Delta OAB.\) Vẽ đường thẳng qua \(M\) song song với \(CD\) và giao với tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD.\)
Ta có: \(DE=\frac{CD}{2}=\frac{CO+OD}{2}=\frac{a\sqrt{2}+2a\sqrt{2}}{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{EQ}{OB}=\frac{DE}{DO}=\frac{\frac{3a\sqrt{2}}{2}}{2a\sqrt{2}}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{PQ}{AB}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{DS}{DM}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{SM}{SD}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow MI=\frac{1}{3}ED=\frac{1}{3}.\frac{3a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2};AI=\sqrt{A{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{5a}{\sqrt{2}}.\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
