Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng \({{60}^{0}} \). Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\)
Xác định \({{60}^{0}}=\widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}\) và
\(SA=AC.\tan \widehat{SCA}=\sqrt{A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}.\tan 60=a\sqrt{2}.\sqrt{3}=a\sqrt{6}\).
Gọi M là trung điểm AB, suy ra ADCM là hình vuông nên CM = AD = a.
Xét tam giác ACB, ta có trung tuyến \(CM=a=\frac{1}{2}AB\) nên tam giác ACB vuông tại C.
Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật, suy ra \(AC\parallel BE\).
Do đó \(d\left( AC;SB \right)=d\left( AC;\left( SBE \right) \right)=d\left( A;\left( SBE \right) \right)\).
Kẻ \(AK\bot SE\,\,\,\left( 1 \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AE\\BE \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BE \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BE \bot AK\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AK\bot \left( SBE \right)\)
Khi đó \(d\left( A,\left( SBE \right) \right)=AK=\frac{SA.AE}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}\).
Ta có: \(AE=BC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow AK=\frac{a\sqrt{6}.a\sqrt{2}}{\sqrt{6{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.