Cặp điểm thuộc đồ thị ( C ) của hàm số y = x^3 + x đối xứng nhau qua đ
Câu hỏi
Nhận biếtCặp điểm thuộc đồ thị \( \left( C \right) \) của hàm số \(y = {x^3} + x \) đối xứng nhau qua đường thẳng \(d: \, \,y = - \frac{1}{2}x \) là:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(A\left( {a;{a^3} + a} \right);\,\,B\left( {b;{b^3} + b} \right)\,\,\left( {a \ne b} \right)\) là hai điểm thuộc \(\left( C \right)\) và đối xứng nhau qua đường thẳng \(d:\,\,y = - \frac{1}{2}x \Leftrightarrow x + 2y = 0\).
Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( {\frac{{a + b}}{2};\,\,\frac{{{a^3} + a + {b^3} + b}}{2}} \right)\)
Do A và B đối xứng nhau qua d
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in d\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{a + b}}{2} + 2.\frac{{{a^3} + a + {b^3} + b}}{2} = 0\\2.\left( {b - a} \right) - \left( {{b^3} + b - {a^3} - a} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + b} \right) + 2\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {a + b} \right)} \right] = 0\\2\left( {b - a} \right) - \left[ {\left( {b - a} \right)\left( {{b^2} + ab + {a^2}} \right) + \left( {b - a} \right)} \right] = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + b} \right)\left( {1 + 2{a^2} - 2ab + 2{b^2} + 2} \right) = 0\\\left( {b - a} \right)\left( {2 - {b^2} - ab - {a^2} - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + b} \right).2\left( {{a^2} - ab + {b^2} + \frac{3}{2}} \right) = 0\\\left( {b - a} \right)\left( {1 - {a^2} - ab - {b^2}} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\1 - {a^2} - ab - {b^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - a\\1 - {a^2} + {a^2} - {b^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \pm 1\\a = \mp 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\\b = - 1 \Rightarrow B\left( { - 1; - 2} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - 1 \Rightarrow A\left( { - 1; - 2} \right)\\b = 1 \Rightarrow B\left( {1;2} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy cặp điểm cần tìm là \(A\left( {1;2} \right);\,\,B\left( { - 1; - 2} \right)\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.