Người ta muốn xây một chiếc bể chứa nước có hình dạng là một khối hộp
Câu hỏi
Nhận biếtNgười ta muốn xây một chiếc bể chứa nước có hình dạng là một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \( \frac{500}{3}{{m}^{3}}. \) Biết đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và giá thuê thợ xây là \(100.000 \) đồng \(/{{m}^{2}}. \) Tìm kích thước của hồ để chi phí thuê nhân công ít nhất. Khi đó chi phí thuê nhân công là
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(h\) là chiều cao của bể chứa. Đáy hồ có chiều rộng là x và chiều dài là 2x.
Theo giả thiết ta có \(V=\frac{500}{3}=h.x.\left( 2x \right)=2{{x}^{2}}h\Rightarrow h=\frac{250}{3{{x}^{2}}}\,\,\left( 1 \right).\)
Do bể chứa không nắp nên chi phí thuê nhân công chính là chi phí thuê nhân công để xây dựng mặt đáy với các mặt xung quanh.
Diện tích mặt đáy là \(x.\left( 2x \right)=2{{x}^{2}}\,\,\left( {{m}^{2}} \right).\)
Có \(4\) mặt xung quanh với tổng diện tích là \(h.x+h.\left( 2x \right)+h.x+h\left( 2x \right)=6xh.\)
Do đó tổng diện tích mặt xung quanh với mặt đáy là \(S\left( x \right)=2{{x}^{2}}+6xh\,\,\left( 2 \right).\)
Để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta cần tìm cực trị của hàm \(S\left( x \right).\)
Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta nhận được
\(S\left( x \right)=2{{x}^{2}}+6x.\frac{250}{3{{x}^{2}}}=2{{x}^{2}}+\frac{500}{x}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(\left( 2{{x}^{2}};\frac{250}{x};\frac{250}{x} \right)\) ta nhận được
\(S\left( x \right)=2{{x}^{2}}+\frac{250}{x}+\frac{250}{x}\ge 3\sqrt[3]{2{{x}^{2}}.\frac{250}{x}.\frac{250}{x}}=3\sqrt[3]{2.250.250}=150.\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(2{{x}^{2}}=\frac{250}{x}\Leftrightarrow x=5.\) Khi đó chi phí thuê nhân công là \(150\times 100.000=15.000.000\) (đồng).
Chọn đáp án A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.