Cho xy là hai số thực dương thỏa mãn log 2d1 - xyx + y - x - y = 2xy - 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của S
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(x,\,\,y\) là hai số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{1 - xy}}{{x + y}} - x - y = 2xy - 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S,\) biết \(S = x + 2y.\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _2}\dfrac{{1 - xy}}{{x + y}} - x - y = 2xy - 3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 - xy} \right) - {\log _2}\left( {x + y} \right) = 2xy - 3 + \left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 - xy} \right) + 1 - {\log _2}\left( {x + y} \right) = \left( {2xy - 2} \right) + \left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2 - 2xy} \right) + \left( {2xy - 2} \right) = {\log _2}\left( {x + y} \right) + \left( {x + y} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\)\(\left( {t > 0} \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\).
Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), suy ra \(2 - 2xy = x + y \Leftrightarrow x\left( {2y + 1} \right) = 2 - y\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{2 - y}}{{2y + 1}}\).
Ta có: \(S = x + 2y = \dfrac{{2 - y}}{{2y + 1}} + 2y\).
\(S' = - \dfrac{5}{{{{\left( {2y + 1} \right)}^2}}} + 2 = \dfrac{{2{{\left( {2y + 1} \right)}^2} - 5}}{{{{\left( {2y + 1} \right)}^2}}}\)
\(S' = 0 \Leftrightarrow {\left( {2y + 1} \right)^2} = \dfrac{5}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 1 = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\\2y + 1 = - \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 2 + \sqrt {10} }}{4}\\y = \dfrac{{ - 2 - \sqrt {10} }}{4}\end{array} \right.\)
BBT:
Dựa vào BBT ta có: \({\mathop{\rm minS}\nolimits} = S\left( {\dfrac{{ - 2 + \sqrt {10} }}{4}} \right) = \dfrac{{2\sqrt {10} - 3}}{2}\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.