Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), có \(BC = a\). Mặt bên \(SAC\) vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc \({45^0}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Kẻ \(SH \bot BC\). Vì \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi \(I,\,\,J\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AB,\,\,BC\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AB \bot HI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AB \bot SI\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SI \bot AB\\\left( {ABC} \right) \supset HI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle SIH = {45^0}\).
CMTT ta có \(BC \bot SJ\) và \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle SJH = {45^0}\).
\( \Rightarrow \Delta SIH,\,\,\Delta SJH\) là các tam giác vuông cân tại \(H \Rightarrow SH = IH = JH\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot AB,\,\,BC \bot AB \Rightarrow HI//BC \Rightarrow HI//BJ\\HJ \bot BC,\,\,AB \bot BC \Rightarrow HJ//AB \Rightarrow HJ//IB\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BIHJ\) là hình bình hành, lại có \(HI = HJ\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BIHJ\) là hình thoi.
\( \Rightarrow BH\) là phân giác của \(\angle ABC \Rightarrow BH\) đồng thời là trung tuyến (Do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\))
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AC\) \( \Rightarrow HI\) là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow HI = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}\).
\( \Rightarrow SH = \dfrac{a}{2};\,\,{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{{{a^2}}}{2}\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
