Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz tìm m để mặt phẳng ( P ):x + y + z + 1 = 0 cắt mặt cầu ( S ):x^2
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm \(m\) để mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 1 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6y + 2\left( {m - 2} \right)z + 4 = 0\) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng \(3\pi \).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Bán kính của đường tròn giao tuyến là: \(r = \sqrt {\frac{{3\pi }}{\pi }} = \sqrt 3 \)
Ta có: \({3^2} + {\left( {m - 2} \right)^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 9 > 0\): luôn đúng với mọi \(m\)
\( \Rightarrow \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6y + 2\left( {m - 2} \right)z + 4 = 0\) là phương trình mặt cầu với mọi \(m\)
\(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;3;2 - m} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{m^2} - 4m + 9} \)
\(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 3 + 2 - m + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| {6 - m} \right|}}{{\sqrt 3 }}\)
Ta có: \({d^2} + {r^2} = {R^2} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {6 - m} \right)}^2}}}{3} + 3 = {m^2} - 4m + 9\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {6 - m} \right)^2} + 9 = 3{m^2} - 12m + 27\\ \Leftrightarrow {m^2} - 12m + 36 + 9 = 3{m^2} - 12m + 27\\ \Leftrightarrow 2{m^2} = 18 \Leftrightarrow m = \pm 3\end{array}\).
Chọn: B
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
