Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1:x - 12 = y - 2 - 2 = z + 1 - 1 và d
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = - t\end{array} \right.\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \({d_1}\) tạo với \({d_2}\) một góc \(45^\circ \) và nhận véctơ \(\overrightarrow n = \left( {1;b;c} \right)\) làm một véc tơ pháp tuyến. Xác định tích \(bc.\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Theo đề bài ta có : \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,b;\,c} \right).\)
Đường thẳng \({d_1};{d_2}\) có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 2; - 1} \right);\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;0; - 1} \right)\)
Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \({d_1}\) nên \(\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{u_1}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \Leftrightarrow 2 - 2b - c = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) tạo với \({d_2}\) góc \(45^\circ \) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\sin 45^\circ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 - c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} .\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left| {1 - c} \right| = \sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} \Leftrightarrow {b^2} = - 2c \Leftrightarrow c = - \frac{{{b^2}}}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(2 - 2b + \frac{{{b^2}}}{2} = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4b + 4 = 0 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow c = - 2 \Rightarrow b.c = - 4.\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.