Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) cùng thỏa mãn các điều
Câu hỏi
Nhận biếtBiết rằng trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) có hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\) và \(B\left( {0; - 2;2} \right)\), đồng thời cắt các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) tại hai điểm cách đều \(O\). Giả sử \(\left( P \right)\) có phương trình \(x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0\) và \(\left( Q \right)\) có phương trình \(x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0\). Tính giá trị của biểu thức \({b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}\).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(A,B \in \left( P \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {b_1} + {c_1} + {d_1} = 0\\ - 2{b_1} + 2{c_1} + {d_1} = 0\end{array} \right.\).
Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}M = \left( P \right) \cap Ox \Rightarrow M\left( { - {d_1};0;0} \right) \Rightarrow OM = \left| {{d_1}} \right| > 0\\N = \left( P \right) \cap Oy \Rightarrow N\left( {0;\frac{{ - {d_1}}}{{{b_1}}};0} \right) \Rightarrow ON = \left| {\frac{{ - {d_1}}}{{{b_1}}}} \right| = \left| {\frac{{{d_1}}}{{{b_1}}}} \right| > 0\end{array} \right.\)
Theo bài ra ta có \(OM = ON \Leftrightarrow \left| {{d_1}} \right| = \left| {\frac{{{d_1}}}{{{b_1}}}} \right| \Leftrightarrow \left| {{d_1}} \right|\left( {\left| {{b_1}} \right| - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {b_1} = \pm 1\,\,\left( {Do\,\,\left| {{d_1}} \right| > 0} \right)\).
TH1: \({b_1} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + {c_1} + {d_1} = 0\\ - 2 + 2{c_1} + {d_1} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 4\\{d_1} = - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,x + y + 4z - 6 = 0\).
TH2: \({b_1} = - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} + {d_1} = 0\\2 + 2{c_1} + {d_1} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = - 2\\{d_1} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,x - y - 2z + 2 = 0\).
Do vai trò của \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\) là như nhau nên không mất tính tổng quát ta có \(\left( P \right):\,\,x + y + 4z - 6 = 0\) và \(\left( Q \right):\,\,x - y - 2z + 2 = 0\).
\( \Rightarrow {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 1\left( { - 1} \right) + 4.\left( { - 2} \right) = - 9\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.