Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD'.
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(CD'\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \(AD'//BC' \Rightarrow BC'//\left( {ACD'} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {BC';CD'} \right) = d\left( {BC';\left( {ACD'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ACD'} \right)} \right)\) .
Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có \(BD \cap \left( {ACD'} \right) = O\)
\( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {ACD'} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {ACD'} \right)} \right)}} = \dfrac{{BO}}{{DO}} = 1 \Rightarrow d\left( {B;\left( {ACD'} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {ACD'} \right)} \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot OD\\AC \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {ODD'} \right)\).
Trong \(\left( {ODD'} \right)\) kẻ \(DH \bot OD' \Rightarrow DH \bot AC\)
\( \Rightarrow DH \bot \left( {ACD'} \right) \Rightarrow DH = d\left( {D;\left( {ACD'} \right)} \right)\)
\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow BD = a\sqrt 2 \Rightarrow OD = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ODD'\) ta có:
\(DH = \dfrac{{DO.DD'}}{{\sqrt {D{O^2} + DD{'^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {BC';CD'} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.