Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh agóc ABC = 60^circ SA = SB = SC = a căn 2 . Tín
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a,\widehat {ABC} = 60^\circ ,SA = SB = SC = a\sqrt 2 .\) Tính thể tích \(V\) của khối chóp đã cho.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB = BC\) mà \(\angle ABC = 60^\circ \) nên \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a.\)
Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(O\) là giao điểm hai đường chéo hình thoi.
Vì \(SA = SB = SC\) nên \(S\) thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) hay chân đường cao hạ từ \(S\) xuống \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp \(H\) của tam giác \(ABC.\) Hay \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
+ Vì \(ABC\) đều cạnh \(a\) tâm \(H\) nên \(AC = a;\,BO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,BH = \frac{2}{3}BO = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
+ Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BD\)
+ Xét tam giác \(BHD\) vuông tại \(H\) có \(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}\)
+ Diện tích hình thoi \(ABCD\) là \(\frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}AC.2BO = \frac{1}{2}a.2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
Thể tích \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}.\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.