Trong không gian Oxyz cho hai điểm A( 3;1; - 3 )B( 0; - 2;3 ) và mặt cầu ( S ):( x + 1 )^2 + y^2 + (
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;1; - 3} \right),\,\,B\left( {0; - 2;3} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\). Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\), giá trị lớn nhất của \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;0;3} \right)\), bán kính \(R = 1\).
Gọi \(J\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JB} = \overrightarrow 0 \).
Ta có: \(\overrightarrow {JA} = \left( {3 - a,\,\,1 - b,\,\, - 3 - c} \right);\,\,\overrightarrow {JB} = \left( { - a;\,\, - 2 - b;\,\,3 - c} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JB} = \left( {3 - 3a;\,\, - 3 - 3b;\,\,3 - 3c} \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {1; - 1;\;1} \right)\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}T = M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JB} } \right)^2}\\T = M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JA} + J{A^2} + 2M{J^2} + 4\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JB} + 2J{B^2}\\T = 3M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} \underbrace {\left( {\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JB} } \right)}_{\overrightarrow 0 } + \underbrace {J{A^2} + 2J{B^2}}_{const}\end{array}\)
Do đó \({T_{\max }} \Leftrightarrow M{J_{\max }}\).
Ta có: \(\overrightarrow {IJ} = \left( {2; - 1; - 2} \right) \Rightarrow IJ = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} = 3 > R = 1 \Rightarrow J\) nằm ở phía ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó
\(M{J_{\max }} = IJ + R = 3 + 1 = 4\)
Vậy \({T_{\max }} = {3.4^2} + \left( {{2^2} + {2^2} + {4^2}} \right) + 2.\left( {{1^2} + {1^2} + {2^2}} \right) = 3.16 + 24 + 2.6 = 84\).
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
