Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A( 5;;5 ) trực tâm H( - 1;;13 ) đường tròn ngoại tiếp
Câu hỏi
Nhận biếtTrong mặt phẳng \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A\left( {5;\;5} \right),\) trực tâm \(H\left( { - 1;\;13} \right),\) đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có phương trình \({x^2} + {y^2} = 50.\) Biết tọa độ đỉnh \(C\) là \(C\left( {a;\;b} \right)\) với \(a < 0.\) Tổng \(a + b\) bằng:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Theo đề bài ta có đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là đường tròn tâm \(O\left( {0;\;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 .\)
Kẻ đường kính AA’, ta có:
\(\widehat {ACA'} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AC \bot A'C\). Mà \(BH \bot AC\)\( \Rightarrow BH//A'C\).
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh dược \(CH//A'B\).
Do đó A’CHB là hình bình hành.
Kẻ \(OI \bot BC \Rightarrow I\) là trung điểm của BC\( \Rightarrow I\) đồng thời là trung điểm của A’H.
Do đó OI là đường trung bình của tam giác A’AH \( \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}AH \Rightarrow \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OI} \).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6 = 2.{x_I}\\8 = 2{y_I}\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( { - 3;4} \right)\).
Đường thẳng BC đi qua I và nhận \(\overrightarrow {OI} = \left( { - 3;4} \right)\) là 1 VTPT nên có phương trình \( - 3\left( {x + 3} \right) + 4\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow - 3x + 4y - 25 = 0\).
Ta có \(C = BC \cap \left( O \right)\), do đó tọa độ của điểm C là nghiệm của hệ phương trình
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 50\\ - 3x + 4y = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 50\\x = \dfrac{{4y - 25}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{4y - 25}}{3}} \right)^2} + {y^2} = 50\\x = \dfrac{{4y - 25}}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{y^2} - 200y + 625 + 9{y^2} = 450\\x = \dfrac{{4y - 25}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 7 \Rightarrow x = 1\\y = 1 \Rightarrow x = - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( {1;7} \right)\\C\left( { - 7;1} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = - 7;\,\,b = 1 \Rightarrow a + b = - 6\end{array}\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
