Tính tổng tất cả các giá tri của m biết đồ thị hàm số y = x^3 + 2mx^2 + ( m + 3 )x + 4 và đường thẳn
Câu hỏi
Nhận biếtTính tổng tất cả các giá tri của m biết đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\) và đường thẳng \(y = x + 4\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt \(A\left( {0;4} \right)\), B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng \(8\sqrt 2 \) với \(I\left( {1;3} \right)\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 = x + 4 \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow A\left( {0;4} \right)\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Để \(y = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\) và đường thẳng \(y = x + 4\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - m - 2 > 0\\m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 1\end{array} \right.\\m \ne - 2\end{array} \right.\).
Khi đó \({x_B};{x_C}\) là 2 nghiệm của phương trình (1), áp dụng định lí Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = - 2m\\{x_B}{x_C} = m + 2\end{array} \right.\).
Ta có \({S_{\Delta IBC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {I;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}d\left( {I;d} \right).BC \Rightarrow BC = \dfrac{{2{S_{\Delta IBC}}}}{{d\left( {I;d} \right)}}\).
Mà \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \Rightarrow BC = \dfrac{{2.8\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 16\).
Ta có
\(\begin{array}{l}B{C^2} = {\left( {{x_B} - {x_C}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_C}} \right)^2} = {\left( {{x_B} - {x_C}} \right)^2} + {\left( {{x_B} + 4 - {x_C} - 4} \right)^2} = 2{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_B} - {x_C}} \right)^2} = 128 \Rightarrow {\left( {{x_B} + {x_C}} \right)^2} - 4{x_B}{x_C} = 128\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {m + 2} \right) = 128 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 32 \Leftrightarrow {m^2} - m - 34 = 0\end{array}\)
Phương trình bậc hai ẩn m có 2 nghiệm phân biệt \({m_1},\,\,{m_2}\) và \({m_1} + {m_2} = 1\).
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
