Cho a > 0b > 0 thỏa mãn log 10a + 3b + 1( 25a^2 + b^2 + 1 ) + log 10ab + 1( 10a + 3b + 1 ) = 2 . Giá
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{10a + 3b + 1}}\left( {25{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right) = 2\) . Giá trị của \(a + 2b\) bằng
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Vì \(a,b > 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}10a + 3b + 1 > 1\\25{a^2} + {b^2} + 1 > 1\\10ab + 1 > 1\end{array} \right. \Rightarrow {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right) > 0\)
Lại có : \(25{a^2} + {b^2} + 1 \ge 10ab + 1\,\,\left( {do\,\,{{\left( {5a} \right)}^2} + {b^2} \ge 2.5a.b = 10ab} \right)\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 5a\( \Rightarrow {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {25{a^2} + {b^2} + 1} \right) \ge {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right)\)
Suy ra :
\(2 = {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {25{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right) \ge {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right) + {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right)\)
Mà \({\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right) + {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right) = {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right) + \frac{1}{{{{\log }_{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right)}} \ge 2\)
Dấu \( = \) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 5a\\{\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5a\\10ab + 1 = 10a + 3b + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5a\\a = \frac{1}{2}\left( {tm} \right);a = 0\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).
Khi đó ta có : \(a+2b=\frac{1}{2}+2.\frac{5}{2}=\frac{11}{2}.\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.