Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a BC = 2a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Dựng hình bình hành \(ACBE \Rightarrow AC//BE \Rightarrow AC//\left( {SBE} \right)\) nên \(d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\)
+ Trong \(\left( {ABE} \right)\) kẻ \(AK \bot BE\) , lại có \(BE \bot SA\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BE \bot \left( {SAK} \right)\)
+ Trong \(\left( {SAK} \right)\) kẻ \(AH \bot SK\) tại \(H\) . Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SK\\AH \bot BE\,\left( {do\,BE \bot \left( {SAK} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBE} \right)\) tại \(H\)
Suy ra \(d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = AH.\)
+ Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD \Rightarrow AB \bot AE\) . Xét tam giác vuông \(AEB\) có
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\) mà \(AE = BC = 2a\, \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\)
+ Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AK.\) Xét tam giác vuông \(SAK\) có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{5}{{4{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}}\) \( \Rightarrow AH = \frac{{2a}}{3}\)
Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \frac{{2a}}{3}.\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.