Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đỉnh S có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp tam giác đều S.ABC có đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC. Biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính diện tích tam giác AMN theo a?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right)\)
Gọi E là trung điểm của MN, ta chứng minh được E là trung điểm của SD.
\(SD\bot MN\) (do tam giác SMN cân tại S).
Dễ dàng chứng minh được tam giác AMN cân tại A \(\Rightarrow AE\bot MN\)
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \left( AMN \right)\bot \left( SBC \right) \\ & \left( AMN \right)\cap \left( SBC \right)=MN \\ & \left( SBC \right)\supset SD\bot MN \\\end{align} \right.\Rightarrow SD\bot \left( AMN \right)\Rightarrow SD\bot AE\)
\(\Rightarrow \Delta SAD\) cân tại A \(\Rightarrow SA=AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Ta có \(AO=\frac{2}{3}AD=\frac{a\sqrt{3}}{3};\,\,OD=\frac{1}{3}AD=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)
Xét tam giác vuông SAO có : \(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{6}\)
Xét tam giác vuông SOD có: \(SD=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow ED=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
Xét tam giác vuông AED có: \(AE=\sqrt{A{{D}^{2}}-E{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}\)
Có \(MN=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}\Rightarrow {{S}_{AMN}}=\frac{1}{2}AE.MN=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{10}}{4}.\frac{a}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{16}\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
