Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M,
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng \({60^0}\). Thể tích khối chóp S.ABCD là:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Cách giải nhanh bài tập này
Gọi \(O=AC\cap BD\). Vì chóp S.ABCD là chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Gọi E là trung điểm của OA \(\Rightarrow ME\) là đường trung bình của tam giác SAO\( \Rightarrow ME//SO \Rightarrow ME \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow EN\) là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABCD)\( \Rightarrow \widehat {\left( {MN;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {MN;EN} \right)} = \widehat {MNE} = {60^0}\)
Gọi H là trung điểm của AB ta có: HE; HN lần lượt là đường trung bình của tam giác OAB và tam giác ABC
\(\Rightarrow HE//OB;HN//AC\).
Mà \(OB\bot AC\Rightarrow HE\bot HN\Rightarrow \Delta HEN\) vuông tại H
Hình vuông ABCD cạnh a\( \Rightarrow AC = BD = a\sqrt 2 \Rightarrow OB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Ta có: \(HE = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4};HN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow EN = \sqrt {H{E^2} + H{N^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{8} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}\)
\(ME \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow ME \bot EN \Rightarrow \Delta MNE\) vuông tại E\( \Rightarrow ME = NE.tan60 = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{4}\)
Vì ME là đường trung bình của tam giác SAO nên \(SO = 2ME = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{2}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\frac{{a\sqrt {30} }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{6}\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
