Cho hình lập phương (ABCD.A1B1C1D1) cạnh (a)
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) cạnh \(a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({A_1}B\) và \({B_1}D\) là:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Cách giải nhanh bài tập này
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot A{A_1}\end{array} \right\} \Rightarrow AD \bot \left( {AB{B_1}{A_1}} \right) \Rightarrow AD \bot {A_1}B\) ; \(\left. \begin{array}{l}{A_1}B \bot A{B_1}\\{A_1}B \bot AD\end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}B \bot \left( {A{B_1}{C_1}D} \right)\)
Gọi \(H = {A_1}B \cap \left( {A{B_1}{C_1}D} \right) \Rightarrow H\)là trung điểm của \(A{B_1}\)
Trong \(\left( {A{B_1}{C_1}D} \right)\) gọi \(G = {B_1}D \cap H{C_1}\)
Ta có: \(A{B_1} = a\sqrt 2 \) ; \(H{B_1} = \dfrac{1}{2}A{B_1} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\({B_1}D = \sqrt {A{B_1}^2 + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 ,H{C_1} = \sqrt {HB_1^2 + {B_1}{C_1}^2} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Vì \(A{B_1}//{C_1}D\) nên áp dụng hệ quả định lý Ta lét ta có:
\(\dfrac{{H{B_1}}}{{{C_1}D}} = \dfrac{{HG}}{{G{C_1}}} = \dfrac{{{B_1}G}}{{GD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow HG = \dfrac{1}{3}H{C_1} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6};{B_1}G = \dfrac{1}{3}{B_1}D = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có: \(H{G^2} + {B_1}{G^2} = \dfrac{{{a^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{6} = \dfrac{{{a^2}}}{2} = H{B_1}^2 \Rightarrow \Delta {B_1}HG\) vuông tại G (Pi-ta-go đảo)
\( \Rightarrow HG \bot {B_1}D\)
Mà \(\left. \begin{array}{l}{A_1}B \bot \left( {A{B_1}{C_1}D} \right)\\HG \subset \left( {A{B_1}{C_1}D} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow HG \bot {A_1}B\)\( \Rightarrow HG\) là đường vuông góc chung của \({A_1}B\) và \({B_1}D\)
\( \Rightarrow d\left( {{A_1}B;{B_1}D} \right) = HG = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
