Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng \({60^0}\), các tam giác ABC và SBC là tam giác đều cạnh a. Chân đường cao hạ từ S xuống (ABC) nằm trong tam giác ABC. Khoảng cách từ chân đường cao hạ từ S xuống (ABC) đến (SAC) là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Cách giải nhanh bài tập này
Gọi N là trung điểm của BC. Vì \(\Delta SBC,\Delta ABC\)đều nên \(SN \bot BC;AN \bot BC\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SN \bot BC\\AN \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SN;AN} \right)}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SN \bot BC\\AN \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow \left( {SAN} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)
Trong (SAN) kẻ \(SH \bot AN\)
\(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot AN\\SH \bot BC\left( {BC \bot \left( {SAN} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Vì H nằm trong tam giác ABC nên \(\widehat {SNA} < {90^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SN;AN} \right)} = \widehat {SNA} = {60^0}\)
Lại có: \(\Delta SBC = \Delta ABC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow SN = AN \Rightarrow \Delta SNA\) cân tại N \( \Rightarrow \Delta SNA\) đều \( \Rightarrow H\) là trung điểm của AN.
Trong (ABC) kẻ \(HD \bot AC\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AC \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AC \bot HD\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {SHD} \right)\)
Trong (SHD) kẻ \(HK \bot SD\). Có: \(\left. \begin{array}{l}HK \bot AC\left( {AC \bot \left( {SHD} \right)} \right)\\HK \bot SD\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HK\)
Ta có: \(AN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{4};\,\,AH = \dfrac{1}{2}AN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
\(\Delta AHD \sim \Delta ACN\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HD}}{{CN}} = \dfrac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow HD = \dfrac{{AH.CN}}{{AC}} = \frac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{a}{2}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{8}\)
Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot HD \Rightarrow \Delta SHD\) vuông tại H
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{D^2}}} = \dfrac{{16}}{{9{a^2}}} + \dfrac{{64}}{{3{a^2}}} = \dfrac{{208}}{{9{a^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{{3a}}{{4\sqrt {13} }}\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
