Với mọi số nguyên dương n tổng Sn = n^3 + 11n chia hết cho
Câu hỏi
Nhận biếtVới mọi số nguyên dương n, tổng \({S_n} = {n^3} + 11n\) chia hết cho
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Với n = 1 ta có: \({S_1} = 1 + 11 = 12\), không chia hết cho 9 nên loại đáp án C.
Với n = 2 ta có \({S_2} = {2^3} + 11.2 = 30\) không chia hết cho 4 và 12 nên loại đáp án B và D.
Ta sẽ chứng minh \({S_n} = {n^3} + 11n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n.
Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {k^3} + 11k\) chia hết cho 6, ta chứng minh khẳng định trên đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 11\left( {k + 1} \right)\) cũng chia hết cho 6.
Ta có: \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 11\left( {k + 1} \right) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 11k + 11 = {k^3} + 11k + 3{k^2} + 3k + 12 = \left( {{k^3} + 11k} \right) + 12 + 3\left( {{k^2} + k} \right)\)
Có: \({k^3} + 11k\) chia hết cho 6 (giả thiết quy nạp), 12 chia hết cho 6, ta cần chứng minh \(3\left( {{k^2} + k} \right) = 3k\left( {k + 1} \right)\) chia hết cho 6.
k và k + 1 là 2 số nguyên dương liên tiếp nên \(k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow 3k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2,\) kết hợp với \(3k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\) và 2; 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên \(3\left( {{k^2} + k} \right) = 3k\left( {k + 1} \right)\) chia hết cho 3.2 = 6.
Vậy \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 11\left( {k + 1} \right)\) cũng chia hết cho 6 hay \({S_n} = {n^3} + 11n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n.
Chọn A.
