Với mọi số nguyên dương n thì Sn = 5.2^3n - 2 + 3^3n - 1 chia hết cho:
Câu hỏi
Nhận biếtVới mọi số nguyên dương n thì \({S_n} = {5.2^{3n - 2}} + {3^{3n - 1}}\) chia hết cho:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Với n = 1 ta có: \({S_1} = 5.2 + {3^2} = 19\,\, \vdots \,\,19\)
Ta sẽ chứng minh Sn chia hết cho 19 với mọi số nguyên dương n.
Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {5.2^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}\) chia hết cho 19, ta chứng minh \({S_{k + 1}} = {5.2^{3\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{3\left( {k + 1} \right) - 1}}\) cũng chia hết cho 19.
Ta có:
\(\eqalign{ & {S_{k + 1}} = {5.2^{3\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{3\left( {k + 1} \right) - 1}} = {5.2^{3k - 2 + 3}} + {3^{3k - 1 + 3}} = {5.2^{3k - 2}}{.2^3} + {3^{3k - 1}}{.3^3} = {8.5.2^{3k - 2}} + {27.3^{3k - 1}} \cr & = {8.5.2^{3k - 2}} + {8.3^{3k - 1}} + {19.2^{3k - 1}} = 8\left( {{{5.2}^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}} \right) + {19.2^{3k - 1}} \cr} \)
Có \(\left( {{{5.2}^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}} \right)\,\, \vdots \,\,19\) (giả thiết quy nạp), \(19\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow {19.2^{3k - 1}}\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow {S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,19.\)
Vậy Sn chia hết cho19 với mọi số nguyên dương n.
Chọn D.
