Với mọi n in N* giá trị của tổng Sn = 1^2 + 3^2 + ... + ( 2n - 1 )^2 là:
Câu hỏi
Nhận biếtVới mọi \(n \in N*\) giá trị của tổng \({S_n} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2}\) là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Với n = 1 ta có: \({S_1} = 1\), loại đáp án A và B.
Ta chứng minh đáp án C đúng với mọi \(n \in N*\) bằng phương pháp quy nạp toán học.
Giả sử \({S_n} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = {{n\left( {4{n^2} - 1} \right)} \over 3}\,\,\left( * \right)\) đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2k - 1} \right)^2} = {{k\left( {4{k^2} - 1} \right)} \over 3}\), ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh:
\({S_{k + 1}} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right)^2} = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]} \over 3}\)
Ta có:
\(\eqalign{ & {S_{k + 1}} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right)^2} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2k + 1} \right)^2} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2k - 1} \right)^2} + {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr & = {{k\left( {4{k^2} - 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 1} \right)^2} = {{k\left( {2k + 1} \right)\left( {2k - 1} \right) + 3{{\left( {2k + 1} \right)}^2}} \over 3} = {{\left( {2k + 1} \right)\left( {2{k^2} - k + 6k + 3} \right)} \over 3} \cr & = {{\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {4{k^2} + 8k + 3} \right)} \over 3} = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]} \over 3}. \cr} \)
Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi \(n \in N*\).
Chọn C.
