Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + 2x + 1 biết khoảng cách từ điểm I( - 1;1 ) đ
Câu hỏi
Nhận biếtViết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}},\) biết khoảng cách từ điểm \(I\left( { - \,1;1} \right)\) đến tiếp tuyến là lớn nhất
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(M\left( {a;\frac{{a + 2}}{{a + 1}}} \right)\) với \(a \ne - \,1\) là điểm thuộc \(\left( C \right)\)
Đạo hàm \(y' = - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\,\, \to \,\,k = y'\left( a \right) = - \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}};\)
Phương trình tiếp tuyến \(d:\,\,y = - \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}.\left( {x - a} \right) + \frac{{a + 2}}{{a + 1}} \Leftrightarrow \,\,x + {\left( {a + 1} \right)^2}y - {a^2} - 4a - 2 = 0\)
Ta có \(d\left[ {I;\left( d \right)} \right] = \frac{{\left| { - \,2a - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( {a + 1} \right)}^4}} }} = \frac{2}{{\sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} }}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được \({\left( {a + 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2}.\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} = 2\)
Do đó \(d\left[ {I;\left( d \right)} \right] \le \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .\) Dấu bằng xảy ra khi \({\left( {a + 1} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \,\,{\left( {a + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - \,2\end{array} \right.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(\left[ \begin{array}{l}y = - \,x + 2\\y = - \,x - 2\end{array} \right.\)
Chọn A.
