Tổng của nghiệm dương bé nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình cos ^4x-sin ^4x = 1 - 2sin x.
Câu hỏi
Nhận biếtTổng của nghiệm dương bé nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình \( {\cos ^4}x-{\sin ^4}x = 1 - 2\sin x.\cos x\) là?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\;\;\;{\cos ^4}x - {\sin ^4}x = 1 - 2\sin x.\cos x\\
\Leftrightarrow \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) + \sin 2x = 1\\
\Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x = 1\\
\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + m2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
2x = m2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = m\pi
\end{array} \right.,\;\;k,\;m \in Z.
\end{array}\)
Ta có: \(\left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} + k\pi > 0\\m\pi > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k > - 0,25\\m > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\m = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4}\\x = \pi \end{array} \right. \Rightarrow {x_{\min }} = \frac{\pi }{4}.\)
\(\left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} + k\pi < 0\\m\pi < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k < - 0,25\\m < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = - 1\\m = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{3\pi }}{4}\\x = - \pi \end{array} \right. \Rightarrow {x_{\max }} = - \frac{{3\pi }}{4}.\)
Nghiệm dương bé nhất là: \(x = \frac{\pi }{4}\); nghiệm âm lớn nhất là: \(x = - \frac{{3\pi }}{4}\).
Tổng hai nghiệm là \(\frac{\pi }{4} - \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{\pi }{2}.\)
Chọn A.
