Tổng các nghiệm thuộc đoạn [ 0;pi 2 ] của phương trình 2 căn 3 cos ^25x 2 + sin 5x = 1 + căn
![Tổng các nghiệm thuộc đoạn [ 0;pi 2 ] của phương trình 2 căn 3 cos ^25x 2 + sin 5x = 1 + căn](https://tuhoc365.vn/wp-content/uploads/2020/03/qa-238x145.png "Tổng các nghiệm thuộc đoạn [ 0;pi 2 ] của phương trình 2 căn 3 cos ^25x 2 + sin 5x = 1 + căn")
Câu hỏi
Nhận biếtTổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\) của phương trình \( 2\sqrt 3 {\cos ^2}{{5x} \over 2} + \sin 5x = 1 + \sqrt 3 \) là:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,2\sqrt 3 {\cos ^2}{{5x} \over 2} + \sin 5x = 1 + \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {1 + \cos 5x} \right) + \sin 5x = 1 + \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow \sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 1 \cr & \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 5x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 5x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin 5x\cos {\pi \over 3} + \cos 5x\sin {\pi \over 3} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {5x + {\pi \over 3}} \right) = \sin {\pi \over 6} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 5x + {\pi \over 3} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr 5x + {\pi \over 3} = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over {30}} + {{k2\pi } \over 5} \hfill \cr x = {\pi \over {10}} + {{k2\pi } \over 5} \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( {k \in Z } \right) \cr} \)
Với họ nghiệm \( x = - {\pi \over {30}} + {{k2\pi } \over 5}\,\,\left( {k \in Z } \right) \) , ta được
\(\eqalign{ & 0 \le - {\pi \over {30}} + {{k2\pi } \over 5}\,\, \le {\pi \over 2} \Leftrightarrow 0 \le - {1 \over {30}} + {{2k} \over 5}\,\, \le {1 \over 2} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {1 \over {12}} \le k \le {4 \over 3} \hfill \cr k \in Z \hfill \cr} \right. \Rightarrow k = 1 \cr & \Rightarrow x = - {\pi \over {30}} + {{2\pi } \over 5} = {{11\pi } \over {30}} \cr} \)
Với họ nghiệm \( x = {\pi \over {10}} + {{k2\pi } \over 5}\,\,\left( {k \in Z} \right) \), ta được:
\(\eqalign{ & 0 \le {\pi \over {10}} + {{k2\pi } \over 5}\,\,\, \le {\pi \over 2} \Leftrightarrow 0 \le {1 \over {10}} + {{2k} \over 5}\,\, \le {1 \over 2} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - {1 \over 4} \le k \le 1 \hfill \cr k \in Z \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ k = 0 \hfill \cr k = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = {\pi \over {10}} \hfill \cr x = {\pi \over {10}} + {{2\pi } \over 5} = {\pi \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\) là: \( {{11\pi } \over {30}} + {\pi \over {10}} + {\pi \over 2} = {{29\pi } \over {30}} \)
Chọn B.
