Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng [ - dpi 3;dpi 2 ] y = cos 2x + si
![Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng [ - dpi 3;dpi 2 ]
y = cos 2x + si](https://tuhoc365.vn/wp-content/uploads/2020/03/qa-238x145.png "Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng [ - dpi 3;dpi 2 ]
y = cos 2x + si")
Câu hỏi
Nhận biếtTính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \(\left[ { - \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right]\)
\(y = \cos 2x + \sin \,x - \sqrt 3 \left( {\sin 2x + \cos x} \right) + 3\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(y = \cos 2x + \sin \,x - \sqrt 3 \left( {\sin 2x + \cos x} \right) + 3\)\( \Leftrightarrow y = \left( {\cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x} \right) + \left( {\sin \,x - \sqrt 3 \cos x} \right) + 3\)
\( \Leftrightarrow y = - 2\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}\cos 2x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{2}\sin \,x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3\)
\( \Leftrightarrow y = - 2\left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{3}\cos 2x + \sin \dfrac{{2\pi }}{3}\sin 2x} \right) + 2\left( {\cos \dfrac{\pi }{3}\sin \,x - \sin \dfrac{\pi }{3}\cos x} \right) + 3\)
\( \Leftrightarrow y = - 2\cos \left( {2x - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + 2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) + 3\)\( \Leftrightarrow y = 4{\sin ^2}\left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) + 2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) + 1\)
Ta có: \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right] \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{3} \in \left[ { - \dfrac{{2\pi }}{3};\dfrac{\pi }{6}} \right]\,\)
Khi đó: \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \in \left[ { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\, \Leftrightarrow 2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \in \left[ { - \sqrt 3 ;1} \right]\,\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t + 1,\,\,t \in \left[ { - \sqrt 3 ;1} \right],\,\,f'\left( t \right) = 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{2}\)
Hàm số \(f\left( t \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 3 ;1} \right]\) có \(f\left( { - \sqrt 3 } \right) = 4 - \sqrt 3 ,\,\,f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{4},\,\,f\left( 1 \right) = 3\)
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{4},\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 3\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right]} y = \dfrac{3}{4},\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right]} y = 3\)
