Tính các tổng sau:S2 = Cn^1 + 2Cn^2 + ... + nCn^n
Câu hỏi
Nhận biếtTính các tổng sau:\({S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}kC_n^k = k.\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{(k - 1)!{\rm{[}}(n - 1) - (k - 1){\rm{]}}!}}\\\;\;\;\;\;\; = n\frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!{\rm{[}}(n - 1) - (k - 1){\rm{]}}!}} = nC_{n - 1}^{k - 1},\;\;\forall k \ge 1\end{array}\)
Với \(k = 1;\;2;\;3;...;\;n\) ta có:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + ..... + nC_n^n\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{k = 1}^n {nC_{n - 1}^{k - 1}} = n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + ... + C_{n - 1}^{n - 1}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\; = {\left( {1 + 1} \right)^{n - 1}}.n = n{.2^{n - 1}}.\end{array}\)
Chọn D
