Tìm số tự nhiên n biết rằng trong dạng khai triển ( x + 12 )^nthành đa thức đối với biến x hệ số của
Câu hỏi
Nhận biếtTìm số tự nhiên \(n,\) biết rằng trong dạng khai triển \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^n}\)thành đa thức đối với biến \(x,\) hệ số của \({x^6}\) bằng bốn lần hệ số của \({x^4}.\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{1}{{{2^{n - k}}}}{x^k}} \).
Hệ số của \({x^6}\) bằng 4 lần hệ số của \({x^4}\) :
\(\begin{array}{l}4C_n^4\frac{1}{{{2^{n - 4}}}} = C_n^6\frac{1}{{{2^{n - 6}}}} \Leftrightarrow C_n^4 = C_n^6 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{4!\left( {n - 4} \right)!}} = \frac{{n!}}{{6!\left( {n - 6} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{24\left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)}} = \frac{1}{{720}} \Leftrightarrow \left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right) = 30 \Leftrightarrow n = 10\;\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\end{array}\)
Chọn A.
