Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2Cn^0 + 5Cn^1 + 8Cn^2 + ... + ( 3n + 2 )Cn^n = 1600.
Câu hỏi
Nhận biếtTìm số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n = 1600\).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Biến đổi biểu thức bài cho ta được:
\(\begin{array}{l}2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n\\ = \left( {3.0 + 2} \right)C_n^0 + \left( {3.1 + 2} \right)C_n^1 + \left( {3.2 + 2} \right)C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n\\ = 2\left( {C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n} \right) + 3\left( {C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n} \right)\end{array}\)
Ta có : \({S_1} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {\left( {1 + 1} \right)^n} = {2^n}\).
Đặt \({S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n\)
Dựa vào câu 11 ta tính được: \({S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n = n{.2^{n - 1}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow VT = 2{S_1} + 3{S_2} = 1600\\ \Leftrightarrow {2.2^n} + 3n{.2^{n - 1}} = 1600\\ \Leftrightarrow {2.2^n} + \frac{{3n}}{2}{.2^n} = 1600\\ \Leftrightarrow \left( {3n + 4} \right){.2^n} = 3200\end{array}\)
Vì n là số tự nhiên nên ta thử các đáp án vào biểu thức ta được đáp án đúng là \(n = 7.\)
Chọn B
