Số nghiệm của phương trình cos 2( x + pi 3 ) + 4cos ( pi 6 - x ) = 52
Câu hỏi
Nhận biếtSố nghiệm của phương trình \( \cos 2 \left( {x + \frac{ \pi }{3}} \right) + 4 \cos \left( { \frac{ \pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2} \) thuộc \( \left[ {0;2 \pi } \right] \) là?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\).
Do đó phương trình:
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - \,2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \frac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow - \,2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \frac{3}{2} = 0\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \(\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = t\;\;\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow - 2{t^2} + 4t - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{3}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\\t = \frac{1}{2}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6} - x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{6} - x = - \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + m2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k,\;m \in Z} \right).\end{array}\)
Phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\;2\pi } \right]\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le - \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 2\pi \\0 \le \frac{\pi }{2} + m2\pi \le 2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{13}}{{12}}\\ - \frac{1}{4} \le m \le \frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1 \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{6}\\m = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\end{array} \right..\)
Vậy có hai nghiệm thỏa mãn.
Chọn B
