Phương trình sin x + sin 3x + sin 5x = cos x + cos 3x + cos 5xcó số nghiệm dương bé hơn pi thõa mãn
Câu hỏi
Nhận biếtPhương trình \(\sin x + \sin 3x + \sin 5x = \cos x + \cos 3x + \cos 5x\)có số nghiệm dương bé hơn \(\pi \) thõa mãn \(\tan x > 0\) là?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin x + \sin 3x + \sin 5x = \cos x + \cos 3x + \cos 5x\\ \Leftrightarrow \sin 3x + \left( {\sin x + \sin 5x} \right) = \cos 3x + \left( {\cos x + \cos 5x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 3x + 2\sin 3x\cos 2x = \cos 3x + 2\cos 3x\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 3x\left( {1 + 2\cos 2x} \right) = \cos 3x\left( {1 + 2\cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = \cos 3x\\\cos 2x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 3x = 1\\2x = \frac{{2\pi }}{3} + m2\pi \\2x = - \frac{{2\pi }}{3} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + m\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + l\pi \end{array} \right.\left( {k,\;m,\;l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Với \(x \in \left( {0;\pi } \right),\,\tan x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), xét:
\(\begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\;1} \right\}\\0 < \frac{\pi }{3} + m\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < m < \frac{1}{6} \Leftrightarrow m = 0\\0 < - \frac{\pi }{3} + l\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < l < \frac{5}{6} \Leftrightarrow l \in \emptyset \end{array}\)
Phương trình có 3 nghiệm thõa mãn.
Chọn A.
