Phương trình sin ^3x + cos ^3x = sin 2x + sin x + cos xcó bao nhiêu nghiệm thuộc [ 0;10pi )
Câu hỏi
Nhận biếtPhương trình \(\,{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin 2x + \sin x + \cos x\)có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;10\pi } \right)\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\) điều kiện \(|t| \le \sqrt 2 \) \( \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).
Khi đó phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin 2x + \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = 2\sin x\cos x + \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow t\left( {1 - \frac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) = {t^2} - 1 + t \Leftrightarrow 2t - {t^3} + t = 2{t^2} - 2 + 2t\\ \Leftrightarrow {t^3} + 2{t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow t\left( {{t^2} - 1} \right) + 2\left( {{t^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 2} \right)\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\\\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{l\pi }}{2}\,\,\,\left( {k;l \in Z} \right).\end{array}\)
Xét : \(0 \le \frac{{l\pi }}{2} < 10\pi \Leftrightarrow 0 \le l < 20 \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2;19} \right\}\). Có 20 giá trị k ứng với 20 nghiệm thõa mãn.
Chọn C.
