Phương trình: sin ^3( x - pi 4 ) = căn 2 sin xcó nghiệm là?
Câu hỏi
Nhận biếtPhương trình: \({\sin ^3}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin x\)có nghiệm là?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta nhận thấy \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) có thể biểu diễn qua \(\sin x - \cos x\).
Ta có phương trình:
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 {\sin ^3}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 4\sin x \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^3} = 4\sin x\\ \Leftrightarrow {(\sin x - \cos x)^3} = 4\sin x\\ \Leftrightarrow {\sin ^3}x - 3{\sin ^2}x.\cos x + 3\sin x.{\cos ^2}x - {\cos ^3}x = 4\sin x\end{array}\)
+) Xét trường hợp \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Khi đó phương trình có dạng
\( \Leftrightarrow {\sin ^3}\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) \Rightarrow \)mâu thuẫn.
Vậy phương trình không nhận \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) làm nghiệm.
+) Với \(\cos x \ne 0\). Chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\) ta được :
\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow {\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + 3\tan x - 1 = 4\tan x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + 3\tan x - 1 = 4\tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + 3\tan x - 1 = 4{\tan ^3}x + 4\tan x\\ \Leftrightarrow 3{\tan ^3}x + 3{\tan ^2}x + \tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\tan x + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \tan x = - 1\;\;\;\left( {do\;\;3{{\tan }^2}x + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \;\;\left( {k \in Z} \right)\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)
Chọn B.
